そのせいか、試合では、相手前衛にすぐにポーチされてしまいます。
ちなみに、グリップは、フォアハンドイースタン・もしくは
それよりほんの少し厚くした感じです。
クロスへの深くて威力のあるボールが打てるようになりたいのですが、
なにかコツのようなものは、ないでしょうか？
かなり、真剣になやんでいます。宜しく御願いします。

真剣にお悩みのようですね。真剣にお答えしますよ。
（いつもだって真剣に答えてますけどね）
まず、ストレートにはしっかり打てるのですから、基本的な打法は
身についている筈ですね。では、何故クロスになると・・・
実際のプレーを拝見していないので、よくある例で推察してお答えします。

◆ストレートとクロスで方向性の観点を変えていませんか？
ボールが来る方向（クロス方向）にしっかりと向いて構えていますか？
身体の向きをクロス方向に向けずにストレート方向に向いていると
違う方向から来たボールを返球することになり、難しくなります。
これは最も基本的なチェックポイントです。大丈夫ですか？

◆クロス方向への打球に適したスタンス、スイングをしていますか？
これは前項と同じですが、クロス方向にスタンスをとって、そちらにスイングを
しているかということです。
前項のことができていないと、こちらも出来ませんよ。

◆ネットのどこを通過させるかを意識していますか？
サーブと同じでネットのどこを通過させるかを意識すると、コントロールが
良くなるはずです。
特にクロスラリーでサイドに振られた時等は角度の問題がありますので、
気をつけましょう。

◆しっかりと打球できている？
おそらくこれが問題だと思います。
「かすれてしまう、浅くなる」ということですから「かすれる」にも2通りあります。
クロスに打とうという気持ちが強すぎてボールの外側をこすってしまう場合と、
クロスは深く打たなきゃと必要以上に上に振ってトップスピンが
掛かり過ぎてしまう場合です。

おそらく貴方の場合は後者ではと想像します。
その結果は必ず浅くなりますね。
クロスの場合は距離が長くなるので、ネット上のより高い部分を
狙っていきますが、前述したように極端に上にスイング角度を上げると
スピンが薄くかかるため注意が必要です。
球出しや単純ラリー練習で打球感を把握しましょう。

クロスショットはダブルスだけでなく、シングルスにおいても基本ショットです。
頭の中で、ストレートのコート図をクロス方向に描きなおしてください。
方向を確認できていれば、イメージが掴めると思います。
更に常にシングルスサイドラインを狙って打つように練習しましょう。
8割以上は安定した角度で打てるはずですよ。
頑張ってくださいね！